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矩形内的一条垂线,引出了让同学深思的问题,如何求对角线长度?

一道初中几何题,矩形内的一条垂线,让同学们陷入了深深的思索。

请看题目:矩形ABCD,两条对角线AC和BD交于点M,

取CD上一点N,连接NM,使得NM⊥AC

已知三角形MCN面积为5,CN-AD=1

请问对角线BD的长度是多少?

BD为矩形对角线,所以如果知道了矩形的长和宽,那么通过勾股定理就可以求得BD长度了。由于M为对角线交点,所以也是中点,那是否可以让N也成为中点,延长CD,假如至点E,使得NE=CN,则NM就是三角形ACE的中位线了。三角形CNM和ACE相似,则面积之比为对应边的平方比,即S△MCN/S△ACE=(MN/AE)²=1/4,而S△MCN=5,所以S△ACE=20,假如设AD=a, 则CN= a+1,CE=2(a+1),根据三角形面积公式 20=1/2*2(a+1)*a, 解方程即可求得矩形的宽AD的长度。而CD的长度,CN已经知道为a+1,所以求出DN即可,DN可以通过射影定理来求得,最后勾股定理就求出对角线长度了。

不知道大家是否还有更好的方法,欢迎分享!

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