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【初中数学】三角形内角和的延伸模型—“飞镖”和“八字”模型

七年级的同学学完第7章-平面图形的认识（二）后经常遇到求角度问题，用到的知识点无非以下几个： 1、三角形内角和等于180°
2、三角形的外角等于它不相邻的两个内角之和 3、多边形的内角和为（n-2）180° 4、多边形的外交和为360° 5、两直线平行，同位角相等 6、两直线平行，内错角相等 7、两直线平行，同旁内角互补

由三角形的内角和可以推出两个常用的基本模型；“飞镖”模型和“八字”模型。
1、“ 飞镖”模型

结论：∠ADB=∠A+∠B+∠C
证明方法如下：
方法1用外角去证

Or

方法2用内角和去证

数学思想-转化化归，无论哪种方法都是转化为三角形去解决。 2、“八字”模型

结论：∠A+∠B=∠C+∠D

下面通过求五角星的内角和以及他的变式图形的内角和来熟悉“飞镖”模型和“八字”模型的使用。 1、求图形（1）的 ∠A 、 ∠B 、 ∠C 、 ∠D 、 ∠E 满足 的数量 关系

图形（1）

简解：


由“飞镖”模型可得到：∠CPD=∠A+∠ACP+∠PDA（ 绿色图形 ）

由“八字”模型可得到：∠B+∠E=∠PCD+∠PDC（红色图形）

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

2、求图形（2）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（2）

图解如下：

“飞镖”模型（绿色图形）

“ 八字 ”模型 （ 红色图形 ）

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

3、求图形（3）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（3）

图解如下：

“飞镖”模型（绿色图形）

“ 八字 ”模型（ 红色图形）

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

4、求图形（4）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（4）

图解如下：

“飞镖”模型（绿色图形）

“ 八字 ”模型（ 红色图形）

∴ ∠A+∠ACP+∠PDA+∠B+∠E=∠CPD+∠PCD+∠PDC=180°

5、求图形（5）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（5）

图解如下：

“八字”模型（红色图形）

∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E

=∠A+∠ACD+∠PCD+∠PDC+∠ADC-∠B-∠E

=∠A+∠ACD+∠ADC

=180°

∴∠A+∠ACP+∠PDA-∠B-∠E=180°

6、求图形（6）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（6）

图解如下：

“八字”模型（红色图形）

∵∠PCA+∠ACD+∠PDC=∠B+∠E

∠A+∠ACD+∠ADC=180°

∴(∠A+∠ACD+∠ADC)-(∠PCA+∠ACD+∠PDC)=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ACD+∠ADC-∠PCA-∠ACD-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ADC-∠PCA-∠PDC=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠ADP-∠PCA=180°-(∠B+∠E)

∴∠A+∠B+∠ADP+∠E-∠PCA=180°

7、求图形（7）的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E满足的数量关系

图形（7）

图解如下：

“八字”模型（红色图形）

∵∠PCD+∠PDC=∠B+∠E

∠A+∠ACD+∠ADC=180°

∴(∠PCD+∠PDC)-(∠A+∠ACD+∠ADC)=∠B+∠E-180°

∴∠PCD+∠PDC-∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

∴∠PCA+∠ACD+∠PDA+∠ADC-∠A-∠ACD-∠ADC=∠B+∠E-180°

∴∠ECA+∠BDA-∠A=∠B+∠E-180°

∴∠A+∠B+∠E-∠ADB-∠ACE=180°

最后看下它们之间的转变过程，图形发生改变时，有时结论不变，有时改变。

【注】转自《初中数学课外提升》。

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