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趣味几何｜构造一线三等角、结合不定方程求解反比例函数k值

原题重现

如图，平面直角坐标系中放置RT△PEF，∠E=90°，EP=EF；△PEF绕点P（-1，-3）转动，PE、PF所在直线分别交y轴、x轴正半轴于点B（0，b），A（a，0），作矩形AOBC，双曲线y=(k/x)（k>0）经过点C，当a，b均为正整数时，k= .

思路解析

1、P点为定点，∠EPF=45°为定角；

2、△EPF绕点P旋转，则A、B、C均为动点；

3、则k值随着点C的变化而变化；

4、限定条件：a、b均为正整数；

5、结论：等腰RT△EPF为伪条件，真正有用的条件为∠EPF=45°，如何根据45°角及定点P导出a、b的数量关系，再根据a、b为正整数值求出k值。

解题过程

1、首先看到45°角，可以联想到一线三等角的运用，所以构造辅助线如下图所示；

2、即构造等腰RT△BKG和等腰RT△AHD，可以得到△BGP∽△PDA；

3、找出相似三角形对应边之间的关系；

则有：PG=b+2、BG=√2(b+3)、AD=3√2、PD=4+a

所以：PG:BG=AD:PD；

（b+2）/√2(b+3)=3√2/（4+a）

a=2+6/（b+2）

因为a、b为正整数，所以b=1,a=4；或者4=1,a=3；

所以k=4或者k=12

总结：

1、紧抓45°角构造一线三等角；

2、限定条件：正整数解；

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