一道初中几何题,求圆中的一个弦线
在图中,一个圆与一个等边三角形相交有六个点, 如果AG=2, GF=13, FC=1,HJ=7, 求DE的长度。
解: 本题的核心是利用圆的割线定理,来求出各个线段的长度,
首先可以AH的长度,从点A为起点有两条割线,根据割线定理:
AH·AJ=AG·AF
设AH=y, 则有:
y(y+7)=2x(2+13)
解这个方程为:
解得y=3, (另一个根式负值,被舍去)
因为三角形ABC是等边三角形,AC=2+13+1=16,
因此AB=16, 由此得出BJ=16-3-7=6,
现在设BD=a, DE=x, EC=b,
显然a+x+b=16,
此外从B点和C点开始还有两个割线的方程。
从C点的割线等式为:
从B点起的割线等式为:
a(a+x)=6(6+7)
设法解这三个方程形成的方程组:
将第一个方程减去第二个方程左侧有:
而a+b+x=16,
带入后有:
所以有a-b=4
将这个等式与上面的第三个等式相加有:
2a+x=20,
由此得出a=10-x/2, 将这个等式带入上面的第一个方程有:
由此得出x=2√22
有话要说...